Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é um dos teoremas mais famosos da matemática. Ele estabelece uma relação fundamental entre os lados de qualquer triângulo retângulo (que tem um ângulo de 90°).

O teorema afirma que: em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Fórmula

a² = b² + c²

Onde:

• a = hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto, sempre o maior lado)
• b e c = catetos (os dois lados que formam o ângulo reto)

Variações úteis:

• Para encontrar um cateto: b = √(a² − c²)
• Para encontrar a hipotenusa: a = √(b² + c²)

Ternas Pitagóricas Famosas

São conjuntos de três inteiros que satisfazem o teorema:

• 3, 4, 5 → 9 + 16 = 25 ✓
• 5, 12, 13 → 25 + 144 = 169 ✓
• 8, 15, 17 → 64 + 225 = 289 ✓
• 7, 24, 25 → 49 + 576 = 625 ✓

Aplicações Práticas

Construção civil:
Verificar se um ângulo é reto (escuadro): meça 3 m em um lado, 4 m no outro — se a diagonal medir 5 m, o canto é perfeitamente reto. Método 3-4-5 usado por carpinteiros e pedreiros.

Engenharia:
Cálculo de comprimento de cabos, escadas, rampas, estruturas metálicas e treliças.

Navegação e GPS:
Cálculo de distâncias em coordenadas (fórmula da distância entre dois pontos em planos cartesianos).

Telas e monitores:
O tamanho de uma tela (ex.: 55 polegadas) é a medida da diagonal. Pitágoras permite calcular largura e altura com base na diagonal e na proporção (ex.: 16:9).

História e Curiosidades

Embora o teorema leve o nome de Pitágoras (matemático grego, ~570–495 a.C.), evidências arqueológicas mostram que babilônios e egípcios já conheciam a relação séculos antes. A tábua babilônica Plimpton 322 (~1800 a.C.) contém dezenas de ternas pitagóricas.

Existem mais de 370 provas diferentes do teorema, incluindo uma criada pelo ex-presidente americano James Garfield em 1876.