CalcNator

Equação do 2º Grau

Resolva equações quadráticas usando a fórmula de Bhaskara com cálculo completo do discriminante.

Calculadora

Resultado

O que é Equação do 2º Grau?

O que é uma Equação do 2º Grau?

Uma equação do 2º grau (ou equação quadrática) é uma equação polinomial de grau 2, cuja forma geral é ax² + bx + c = 0, onde a ≠ 0. O expoente máximo da variável é 2, o que dá à curva sua característica forma de parábola.

Equações do 2º grau aparecem em física (trajetória de projéteis), economia (maximização de lucros), engenharia (cálculo de estruturas), e em inúmeros problemas do cotidiano.

Fórmula de Bhaskara

A solução padrão para equações do 2º grau é dada pela Fórmula de Bhaskara:

x = (−b ± √Δ) / 2a

Onde o discriminante (Delta) é:

Δ = b² − 4ac

Interpretando o Discriminante (Δ)

  • Δ > 0: Duas raízes reais distintas (x₁ ≠ x₂)
  • Δ = 0: Uma raiz real dupla (x₁ = x₂)
  • Δ < 0: Nenhuma raiz real (raízes complexas)

Exemplos Passo a Passo

Exemplo 1 — Duas raízes reais:
x² − 5x + 6 = 0 → a=1, b=−5, c=6
Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1
x₁ = (5 + √1) / 2 = 6/2 = 3
x₂ = (5 − √1) / 2 = 4/2 = 2

Exemplo 2 — Raiz dupla:
x² − 6x + 9 = 0 → a=1, b=−6, c=9
Δ = 36 − 36 = 0
x = 6 / 2 = 3 (raiz dupla)

Exemplo 3 — Sem raízes reais:
x² + x + 1 = 0 → a=1, b=1, c=1
Δ = 1 − 4 = −3 < 0 → sem raízes reais

Relações de Vieta

Conhecendo as raízes, vale:

  • Soma das raízes: x₁ + x₂ = −b/a
  • Produto das raízes: x₁ · x₂ = c/a

Aplicações Práticas

  • Física: Cálculo de tempo de queda, alcance de projéteis
  • Geometria: Encontrar dimensões de áreas com medidas relacionadas
  • Economia: Ponto de equilíbrio, maximização de lucro
  • Engenharia: Cálculo de estruturas, circuitos elétricos

Fórmula

x = (-b ± √Δ) / 2a | Δ = b² - 4ac | Soma das raízes: -b/a | Produto das raízes: c/a

Como usar

  1. 1. Insira os coeficientes a, b e c da equação ax² + bx + c = 0
  2. 2. Clique em Calcular
  3. 3. Veja o discriminante e as raízes com passo a passo
  4. 4. Confira a verificação pelas relações de Girard

Exemplos Práticos

Exemplo 1

Duas raízes reais

Resolver: x² - 5x + 6 = 0

Resultado: Δ=1 | x₁=3, x₂=2
a=1, b=-5, c=6
Exemplo 2

Raiz dupla

Resolver: x² - 4x + 4 = 0

Resultado: Δ=0 | x₁=x₂=2
a=1, b=-4, c=4
Exemplo 3

Sem raízes reais

Resolver: x² + x + 1 = 0

Resultado: Δ=-3 | Sem raízes reais
a=1, b=1, c=1

Tabela de Referência

Equação a b c Δ Raízes
x² − 5x + 6 = 0 1 −5 6 1 x=2 e x=3
x² − 6x + 9 = 0 1 −6 9 0 x=3 (dupla)
x² + x + 1 = 0 1 1 1 −3 Sem raízes reais
2x² − 8 = 0 2 0 −8 64 x=2 e x=−2
x² − 7x + 12 = 0 1 −7 12 1 x=3 e x=4

Perguntas Frequentes

As raízes são os valores de x que satisfazem a equação ax² + bx + c = 0, ou seja, que tornam a equação verdadeira. Geometricamente, são os pontos onde a parábola y = ax² + bx + c cruza o eixo x.
Quando Δ < 0, a equação não possui raízes reais. Isso significa que a parábola não cruza o eixo x. No contexto dos números complexos, ainda existem duas raízes, mas elas envolvem a unidade imaginária i = √(−1). Para problemas do cotidiano, diz-se que a equação não tem solução real.
Bhaskara II foi um matemático e astrônomo indiano do século XII. A fórmula que leva seu nome é ensinada no Brasil como "fórmula de Bhaskara", embora historiadores atribuam sua derivação a matemáticos anteriores. No Brasil, essa denominação é quase exclusiva — em outros países, é chamada de fórmula quadrática.
A equação do 1º grau tem forma ax + b = 0 e sempre tem exatamente uma solução. A do 2º grau tem forma ax² + bx + c = 0 e pode ter 0, 1 ou 2 soluções reais, dependendo do valor do discriminante Δ.
Substitua cada raiz na equação original. Se o resultado for 0, a raiz está correta. Por exemplo, para x² − 5x + 6 = 0 com raízes x=2 e x=3: substituindo x=2: 4−10+6=0 ✓. Substituindo x=3: 9−15+6=0 ✓.

Calculadoras Relacionadas

📐
Destaque

Calculadora de Porcentagem

Calcule porcentagens, aumentos, descontos e variações percentuais de forma rápida e precisa.

Matemática Básica 54
📐
Destaque

Regra de Três Simples

Resolva problemas de proporcionalidade direta e inversa com a regra de três simples.

Matemática Básica 45
📐

Regra de Três Composta

Resolva problemas com múltiplas grandezas usando a regra de três composta direta e inversa.

Matemática Básica 30
📐
Destaque

Média Simples

Calcule a média aritmética simples de uma lista de valores de forma rápida.

Matemática Básica 27
📐

Média Ponderada

Calcule a média ponderada informando os valores e seus respectivos pesos.

Matemática Básica 28
📐

Média Harmônica

Calcule a média harmônica de um conjunto de valores, ideal para médias de taxas e velocidades.

Matemática Básica 27