Progressão Aritmética

Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Essa diferença constante é chamada de razão (r) da PA. Por exemplo: 2, 5, 8, 11, 14... é uma PA com razão r = 3.

As PAs podem ser: crescente (r > 0), decrescente (r < 0) ou constante (r = 0, todos os termos iguais).

O termo geral (n-ésimo termo) de uma PA é dado pela fórmula: aₙ = a₁ + (n-1) × r, onde a₁ é o primeiro termo, n é a posição do termo e r é a razão.

A soma dos n primeiros termos de uma PA é: Sₙ = n × (a₁ + aₙ) / 2, também escrita como Sₙ = n × (2a₁ + (n-1)×r) / 2. Esta fórmula é atribuída ao matemático Gauss, que a descobriu ainda criança ao perceber que podia somar os números de 1 a 100 somando pares extremos.

Aplicações de PAs: juros simples (cada período acrescenta um valor fixo), depreciação linear, sequências de anos, cálculo de parcelas iguais, séries harmônicas musicais e muitos problemas de física com velocidade constante.

Propriedade importante: em uma PA finita, a soma de termos equidistantes dos extremos é sempre igual à soma dos extremos. Por exemplo, em 1, 3, 5, 7, 9: a₁+a₅ = a₂+a₄ = 2×a₃ = 10.