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Progressão Geométrica
Calcule termos, razão e soma de uma progressão geométrica (PG), incluindo PG infinita.
Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência numérica em que o quociente entre termos consecutivos é constante. Esse quociente é chamado de razão (q) da PG. Por exemplo: 2, 6, 18, 54, 162... é uma PG com razão q = 3.
As PGs podem ser: crescente (q > 1 e a₁ > 0), decrescente (0 < q < 1 e a₁ > 0), alternante (q < 0) ou constante (q = 1).
O termo geral da PG é: aₙ = a₁ × q^(n-1), onde a₁ é o primeiro termo e q é a razão.
A soma dos n primeiros termos de uma PG com q ≠ 1 é: Sₙ = a₁ × (qⁿ - 1) / (q - 1). Quando q = 1 (PG constante), Sₙ = n × a₁.
A soma de uma PG infinita convergente (|q| < 1) é: S∞ = a₁ / (1 - q). Essa fórmula tem aplicações importantes em séries matemáticas e física.
Aplicações de PGs: crescimento populacional (taxa constante por período), juros compostos (cada período multiplica por 1+taxa), decaimento radioativo, escalas musicais, crescimento de bactérias, retorno de investimentos e cálculos de amortização.
A PG está intimamente relacionada à função exponencial. De fato, uma PG é uma sequência de valores de uma função exponencial avaliados em pontos igualmente espaçados.
4. Veja os termos, a soma e o gráfico de crescimento
Exemplos Práticos
Exemplo 1
Juros compostos
Capital de R$1.000 com taxa de 5% ao mês por 6 meses.
Resultado:a₆ = R$ 1.340,10 | Soma = R$ 6.801,91
a₁=1000, q=1.05, n=6
Exemplo 2
Crescimento bacteriano
Uma bactéria se divide a cada hora. Começando com 1, quantas após 10 horas?
Resultado:a₁₀ = 512 | Soma = 1.023
a₁=1, q=2, n=10
Exemplo 3
PG infinita
Soma da PG infinita: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 ...
Resultado:S∞ = 2
a₁=1, q=0.5
Perguntas Frequentes
Juros simples formam uma PA (acréscimo fixo a cada período). Juros compostos formam uma PG (multiplicação por fator constante a cada período), resultando em crescimento exponencial.
Quando |q| < 1, a soma de infinitos termos de uma PG converge para S∞ = a₁/(1-q). Por exemplo, 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 1/(1-0,5) = 2.
A razão é o quociente entre termos consecutivos: q = a₂/a₁ = a₃/a₂ = ... Basta dividir qualquer termo pelo anterior.